Dynamic Programming Problems经典问题集

转一个经典证明:扫雷是NP完全问题

Author posted @ 2011年8月11日 16:02 in Algorithm , 4202 阅读

曾经看到过自动扫雷软件,当时我就在想,扫雷游戏是否有什么牛B的多项式算法。最近才看到,扫雷问题居然是一个NP完全问题,并且这个定理有一个简单、直观而又神奇的证明。在这里和大家分享一下整个证明过程。
首先,扫雷一定是NP问题,它显然可以在多项式的时间里验证一个解。接下来,我们需要把一个已知的NP完全问题归约到扫雷问题上去。我们将给出一种把逻辑电路问题归约到扫雷问题的方法,这样的话我们就可以利用扫雷问题解决逻辑电路问题,从而说明逻辑电路问题不比扫雷难。我们将把逻辑电路问题转换成一种对应的扫雷布局,就像画画一样把逻辑电路画在扫雷的棋盘上。如果你还不知道什么叫NP完全问题,什么叫逻辑电路问题,你可以看一看我的这篇文章


上图就是一条带有Boolean值的线路。注意到x和x'中有且仅有一个有雷。如果(沿线路方向)前一个格子有雷,我们就说这条线路状态为True;反之如果后一个格子有雷,那么这条线路所传递的Boolean值就是False。每条线路的起始端都如下图左所示,其中符号*表示该格里必然有雷,x和x'中同样是有且仅有一个有雷,但到底是哪一个里面有雷谁也说不清楚。线路是可以拐弯的,如下图右所示,这可以保证转角后Boolean值相同。

我们需要构造一些特殊的扫雷布局来解释NOT门、AND门和OR门。构造NOT门最为简单,下图就是一个NOT门,注意经过了中间的NOT门后,x和x'的位置互换,True变成了False,False也将变成True。

AND门和OR门的构造就比较复杂了。下面是AND门的构造,U和V是输入的两条线路,T是输出的线路。为了说明这确实是一个AND门,我们将说明:在下面的构造中,如果线路T是True(即最右边那个格子t有雷)的话,那么格子u和v必须都有雷才行。如果最右边的格子t有雷,我们可以很快推断出,图中所有其它的t格都是有雷的,所有t'都是无雷的。观察a3正上方的那个"3",我们立即看出a2,a3都必须有雷,于是继续推得a1无雷,s有雷。类似地,我们可以知道r也是有雷的。在中间一行的*4t处,4的上下左右都已经有雷了,那么u'和v'必然无雷,于是继续往左推得u和v都有雷。

OR门的构造比较类似,如下图。如果r无雷的话,可知a2,a3有雷,a1无雷,s'有雷,进而s无雷。观察"6"可知u'和v'都有雷,于是u和v均无雷。

不断套用这几个逻辑门的构造图来连接电路,直到输出线路只剩下唯一的一条。把最后的输出线路从x或者x'处截断(相当于把最终输出的Boolean值定下来)后,整个布局就成了一个“扫雷版SAT问题”了。
最后还有一个容易忽略的问题:要是线路交叉了该咋办?下图的构造可以保证线路交叉后仍不改变原线路所带的Boolean值。至此,我们已经可以把任一逻辑电路布局到扫雷棋盘上,解决这个扫雷问题就相当于要解一个逻辑电路问题,因此扫雷问题至少和逻辑电路问题一样难。

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